- $\lim\limits_{n\to+\infty}c=c$，其中 $c$ 为常数。
- $\lim\limits_{n\to+\infty}\dfrac{1}{n^a}=0$，其中 $a$ 为常数且 $a>0$。
- $\lim\limits_{n\to+\infty}a^n=0$，其中 $a$ 为常数且 $0
- $\lim\limits_{n\to+\infty}\dfrac{f(n)}{a^n}=0$，其中 $a$ 为常数且 $a>1$，$f(n)$ 为有关 $n$ 的多项式。
夹逼定理
如果数列 $a_n\le b_n\le c_n$，$t$ 为一常数，若有
$$
\lim\limits_{n\to+\infty}a_n=\lim\limits_{n\to+\infty}c_n=t
$$
则
$$
\lim\limits_{n\to+\infty}b_n=t
$$
例题
Q1
求证：
$$ \lim\limits_{n\to+\infty}\dfrac{1}{3^n}=0 $$
对于任意给定的 $\epsilon>0$，
取 $N=\left\lfloor\log_3\dfrac{1}{\epsilon}\right\rfloor+1$，则
当 $n>N$ 时，$\left|\dfrac{1}{3^n}-0\right|<\epsilon$。
故 $\lim\limits_{n\to+\infty}\dfrac{1}{3^n}=0$。
Q2
求
$$
\dfrac{2n^2-1000n}{n^2+2}
$$
的极限。
$$ \begin{aligned} \lim\limits_{n\to+\infty}\dfrac{2n^2-1000n}{n^2+2}&=\lim\limits_{n\to+\infty}\dfrac{2-\frac{1000}{n}}{1+\frac{2}{n^2}}\\ &=\dfrac{\lim\limits_{n\to+\infty}\left(2-\frac{1000}{n}\right)}{\lim\limits_{n\to+\infty}\left(1+\frac{2}{n^2}\right)}\\ &=\dfrac{2}{1}\\ &=2 \end{aligned} $$
Q3
求
$$
\dfrac{n+1}{\sum\limits_{i=1}^{n}i}
$$
的极限。
$$ \begin{aligned} \lim\limits_{n\to+\infty}\dfrac{n+1}{\sum\limits_{i=1}^{n}i}&=\lim\limits_{n\to+\infty}\dfrac{n+1}{\frac{n(n+1)}{2}}\\ &=\lim\limits_{n\to+\infty}\dfrac{2}{n}\\ &=0 \end{aligned} $$
[!WARNING]
$$ \lim\limits_{n\to+\infty}\left(\sum\limits_{i=n}^{2n}\dfrac{1}{i}\right)\not=\sum\limits_{i=n}^{2n}\left(\lim\limits_{n\to+\infty}\dfrac{1}{i}\right) $$
左边式子中有 $n+1$ 项，当 $n\to+\infty$ 时有 $+\infty$ 项，所以不能直接拆开计算！涉及无穷时不能想当然！
函数极限
函数极限的定义
如果存在 $r>0$，使 $D=\{x\mid 0<|x-x_0|
设函数在 $y=f(x)$ 在 $x_0$ 附近有定义，$y_0$ 是实数。如果对任意给定的正数 $\epsilon$，总能找到正数 $\delta$，只要实数 $x$ 满足 $0<|x-x_0|<\delta$，就有 $|f(x)-y_0|<\epsilon$，则称当 $x$ 趋近 $x_0$ 时，$f(x)$ 的极限存在，且极限为 $y_0$，记作
$$
\lim\limits_{x\to x_0}f(x)=y_0
$$
如果对任意给定的正数 $\epsilon$，总能找到正数 $\delta$，只要实数 $x$ 满足 $x_0
如果对任意给定的正数 $\epsilon$，总能找到正数 $\delta$，只要实数 $x$ 满足 $x_0-\delta
左极限与右极限统称单侧极限。
$$
\exists\lim\limits_{x\to x_0}f(x)\iff\left(\exists\lim\limits_{x\to x_0^+}f(x)\right)\land\,\left(\exists\lim\limits_{x\to x_0^-}f(x)\right)\land\,\left(\lim\limits_{x\to x_0^-}f(x)=\lim\limits_{x\to x_0^+}f(x)\right)
$$
运算法则
设 $\lim\limits_{x\to x_0}f(x)=a$ 且 $\lim\limits_{x\to x_0}g(x)=b$，那么：
- $\lim\limits_{x\to x_0}\big(f(x)\pm g(x)\big)=a\pm b$。
- $\lim\limits_{x\to x_0}\big(f(x)\cdot g(x)\big)=ab$。
- 当 $b\not=0$ 时，$\lim\limits_{x\to x_0}\dfrac{f(x)}{g(x)}=\dfrac ab$。
常见的函数极限
- $\lim\limits_{x\to x_0}c=c$，其中 $c$ 是常数。
- $\lim\limits_{x\to x_0}x^a=x_0^a$，其中 $a$ 是常数。
- $\lim\limits_{x\to 0}\dfrac{\sin x}{x}=1$。
- $\lim\limits_{x\to 0}\dfrac{\tan x}{x}=1$。
- $\lim\limits_{x\to\infty}\left(1+\dfrac{1}{x}\right)^x=e$。
- $\lim\limits_{x\to 0}(1+x)^{\frac{1}{x}}=e$。
- $\lim\limits_{x\to 0}\dfrac{e^x-1}{x}=1$。
- $\lim\limits_{x\to 0}\dfrac{\ln(x+1)}{x}=1$。
例题
Q1
判断当 $x$ 趋向于 $x_0$ 时，以下函数是否有极限；若存在，请写出极限值。
$$
\begin{align}
f(x)&=\dfrac{x-1}{\sqrt{x}-1}&x_0=1\\
g(x)&=\sin\dfrac{1}{x}&x_0=0
\end{align}
$$
$$ \begin{aligned} \lim\limits_{x\to 1}f(x)&=\lim\limits_{x\to 1}\dfrac{(x-1)(\sqrt{x}+1)}{(\sqrt{x}-1)(\sqrt{x}+1)}\\ &=\lim\limits_{x\to 1}\dfrac{(x-1)(\sqrt{x}+1)}{x-1}\\ &=\lim\limits_{x\to 1}(\sqrt{x}+1)\\ &=2\\ \end{aligned} $$
构造序列 $\{a_n\},\{b_n\}$，通项公式为
$$ \begin{aligned} a_n&=\dfrac{1}{2n\pi}\\ b_n&=\dfrac{1}{2n\pi+\frac{\pi}{2}} \end{aligned} $$
那么
$$ \lim\limits_{n\to+\infty}a_n=\lim\limits_{n\to+\infty}b_n=0 $$故
$$ \begin{aligned} \lim\limits_{x_0\to 0}f(x_0)&=\lim\limits_{n\to+\infty}f(a_n)\\ &=\lim\limits_{n\to+\infty}\sin 2n\pi\\ &=0\\ \lim\limits_{x_0\to 0}f(x_0)&=\lim\limits_{n\to+\infty}f(b_n)\\ &=\lim\limits_{n\to+\infty}\sin \left(2n\pi+\dfrac{\pi}{2}\right)\\ &=1 \end{aligned} $$
因为 $0\not=1$，所以 $f(x)$ 在 $x_0=0$ 处无极限。
Q2
已知
$$
f(x)=
\begin{cases}
2x^2+ax&x\le 1\\
x+\dfrac bx&x>1
\end{cases}
$$
如果 $\lim\limits_{x\to 1}f(x)=3$，求 $a,b$ 的值。
显然 $\lim\limits_{x\to 1}f(x)=3\iff\lim\limits_{x\to 1^-}f(x)=\lim\limits_{x\to 1^+}f(x)=3$。
$$ \begin{cases} \lim\limits_{x\to 1^-}f(x)=\lim\limits_{x\to 1^-}(2x^2+ax)=a+2=3\\ \lim\limits_{x\to 1^+}f(x)=\lim\limits_{x\to 1^+}\left(x+\dfrac bx\right)=b+1=3 \end{cases} $$
所以
$$ \begin{cases} a=1\\ b=2 \end{cases} $$