由来

珂朵莉树（$\text{Chtholly Tree}$），又称老司机树（$\text{Old Driver Tree}$，$\textbf{ODT}$）。

源于 Codeforces Round 449 (Div. 1) 的 C 题 CF896C。

具体实现

注意：珂朵莉树不是数据结构，而是一种颜色段均摊的思想。

核心思想

对于一个区间中值相同的一个子串使用一个结点存储。

结点存储

首先，一个结点需要存储其左右端点，故定义 size_t l, r。

其次，由于将值相同的子串使用一个结点存储，那么结点就需要存储其维护的值，故定义 mutable _Tp w，其中 _Tp 是数据类型。

应该如何将大量结点存储呢？

可以开一个 std::set 存储结点，在看了下文的两个操作后，就可以发现使用 std::set 是最优的，std::vector 更劣。

~~但是听说 std::vector 因为常数小模板题更快？~~

代码见后。

一些解释

mutable 意为可变的，这样在遍历结点时可以 $O(1)$ 修改迭代器所对应的值，而不用花费 $O(\log n)$ 的时间取出结点，修改后重新插入。

将小于号如此定义是为了让结点在 std::set 中按照原数组中的次序，即按照左右端点次序排列，方便遍历。

结点分裂 / $\textbf{split}$

$\textbf{split}$ 是珂朵莉树中一个重要的操作，对于给定的一个位置 $x\,(x\in[l,r])$，可以将 $[l,r]$ 分为 $[l,x)$ 和 $[x,r]$ 两个区间，并且返回 $[x,r]$ 区间在 std::set 中的迭代器。

有了这个操作，当对一个结点维护的区间不同位置赋值为不同的值时，就可以将原结点快速拆分了。

例如对区间 $[l,r]$ 的操作，在珂朵莉树上就可以转化成对结点 split(l) $\sim$ split(r+1) 的操作。

应该如何实现 $\textbf{split}$ 操作呢？

在 std::set 中找到包含 $x$ 的区间对应的结点。

可以在 std::set 中二分找到结点。根据小于号的定义，可以先使用 std::upper_bound 找到第一个左端点大于 $x$ 的结点，那么一般前一个结点就是 $x\in[l,r]$ 的区间了。

但是存在特殊情况：如果 $x$ 大于区间的右端点，那么说明找不到包含 $x$ 的区间，返回 end()。
如果 $x=l$，那么就无需分裂，直接返回结点的迭代器即可。
记录下当前结点的 l, r, w，然后删除当前节点。
添加 $[l,x)$，即 insert({l, x - 1, w})。
添加 $[x,r]$，即 insert({x, r, w})。

由于 $\textbf{split}$ 操作需要返回 $[x,r]$ 区间的迭代器，所以返回 insert() 返回值的 first。

冷知识：insert() 函数是由返回值的，且返回值是一个 std::pair<std::set<_Tp>::iterator, bool>，第一维表示当前插入数据在集合中的迭代器，第二维表示是否插入成功，即原本是否存在相同的数据。

这样一个结点就成功分裂了。

这里就体现出了 std::set 的优势：插入只需要 $O(\log n)$ 的时间，而线性数据结构需要 $O(n)$ 的时间（包括链表）。

区间推平 / $\textbf{assign}$

$\textbf{assign}$ 也是一个非常重要的操作，是珂朵莉树时间复杂度正确的保证。

$\textbf{assign}$ 对于给定的区间 $[l,r]$，将其全部数赋值为 $x$。

首先先 split(r + 1)，然后再 split(l)，分别记录下其迭代器。

Q：为什么要先 split(r + 1)，再 split(l)？

A：如果先 split(l)，那么返回的迭代器可能会在 split(r + 1) 的时候失效。

然后删除两个迭代器之间的所有结点（不包括 split(r + 1) 返回的迭代器），然后再将其合并为一个新节点插入 std::set。

复杂度

时间复杂度

如果保证数据随机，那么单次操作的时间复杂度均摊是 $O(\log\log n)$ 的。

但是如果构造数据，那么珂朵莉树的时间复杂度会卡到 $O(n^2)$。

所以珂朵莉树一般用于骗分。

~~我的一位同学在一道好像没有区间推平的题目中用珂朵莉树得了 70 分！~~

空间复杂度

由于 std::set 最多存储 $n$ 个结点（$n$ 为序列长度），所以空间复杂度为 $O(n)$。

模板代码

只要掌握了这个模板，题目具体分析一下然后暴力就行啦！

template <typename _Tp>
struct ODT_node { // 珂朵莉树的结点
  size_t l, r; // 左右端点
  mutable _Tp w;

  ODT_node(const size_t &_l, const size_t &_r, const _Tp &_w) // 构造函数
  : l(_l), r(_r), w(_w) {}

  bool operator<(const ODT_node &x) const { // 给结构体定义小于号
    if (l != x.l) return l < x.l; // 左端点为第一关键字
    if (r != x.r) return r < x.r; // 右端点为第二关键字
    return w < x.w; // 存储的值为第三关键字
  }
};

template <typename _Tp>
class ODT : public std::set<ODT_node<_Tp>> { // 珂朵莉树直接继承了 std::set，拥有 std::set 的所有 public 的性质以及函数
  const size_t INF = 2e9; // 将一个不可能的值作为右端点
public:

  auto split(const size_t &x) { // 结点分裂
    auto it = --this->upper_bound(ODT_node<_Tp>(x, INF, 0)); // 找到可能包含 x 的区间所对应的结点
    if (x > it->r) return this->end(); // 不存在 x
    if (it->l == x) return it; // 无需分裂
    size_t l = it->l, r = it->r; 
    _Tp w = it->w; // 记录左右端点以及存储的值
    this->erase(it); // 删除当前结点
    this->insert(ODT_node<_Tp>(l, x - 1, w)); // 加入 [l,x) 结点
    return this->insert(ODT_node<_Tp>(x, r, w)).first; // 加入 [x,r] 结点，并且返回其迭代器
  }

  void assign(const size_t l, const size_t &r, const _Tp &w) { // 区间推平
    auto itr = split(r + 1), itl = split(l); // 得到左右结点
    this->erase(itl, itr); // 删除
    this->insert(ODT_node<_Tp>(l, r, w)); // 合并为一个结点后插入
  }
};

例题分析

Willem, Chtholly and Seniorious

$\textbf{Description}$

要求实现一种数据结构，维护一个序列 $\{a_n\}$，维护如下的操作，操作共 $m$ 次。

1 l r x：将 $[l,r]$ 区间所有数加上 $x$。
2 l r x：将 $[l,r]$ 区间所有数改成 $x$。
3 l r x：输出将 $[l,r]$ 区间从小到大排序后的第 $x$ 个数是的多少（不去重）。
4 l r x y：输出 $\sum^r_{i=l}a_i^x\bmod y$。

$n,m\le10^5$，保证数据随机。

$\textbf{Solution}$

由于数据随机并且有区间推平操作，故考虑使用珂朵莉树解决。

定义 ODT<lint> tree。

PS：在下文讨论中，默认已经获得了两边的迭代器，即 itl 和 itr。此外定义了 using lint = long long。

操作 1

遍历每个结点，并将其 w 加上给定的值。

void add(size_t l, size_t r, lint w) { // 区间加
  auto itr = tree.split(r + 1), itl = tree.split(l);
  for (auto it = itl; it != itr; ++it) // 遍历每个结点
    it->w += w;
}

操作 2

直接使用 $\textbf{assign}$ 操作即可。

操作 3

可以开一个数组记录下区间内每个数的出现次数。

具体的，定义一个 std::vector，第一维存储数字大小，第二维存储该数字结点维护的区间长度，以方便排序。

遍历节点，然后加入 {it->w, it->r - it->l + 1}。

然后排序。

定义一个 cnt，记录当前已经访问了多少数字。

从前往后遍历 std::vector，然后使 cnt 加上当前的区间长度。

第一次发现 cnt 不小于 $x$ 时，即这个数落在了当前的区间内，返回即可。

lint select(size_t l, size_t r, size_t x) {
  auto itr = tree.split(r + 1), itl = tree.split(l);
  std::vector<std::pair<lint, size_t>> vec;
  for (auto it = itl; it != itr; ++it)
    vec.push_back({it->w, it->r - it->l + 1});
  std::sort(vec.begin(), vec.end());
  size_t cnt = 0;
  for (auto it = vec.begin(); it != vec.end(); ++it) {
    cnt += it->second;
    if (cnt >= x) return it->first;
  }
  return 1145141919810;
}

操作 4

首先需要实现一个快速幂。

遍历结点，然后结果加上区间长度乘上当前值的 $x$ 次方即可。

lint sum(size_t l, size_t r, lint x, lint y) {
  lint res = 0;
  auto itr = tree.split(r + 1), itl = tree.split(l);
  for (auto it = itl; it != itr; ++it)
    (res += (it->r - it->l + 1) * qpow(it->w, x, y)) %= y;
  return res;
}

接下来按照题意模拟即可。